apuro

연습문제는 https://apuro.tistory.com/54

유투브 영상은 https://www.youtube.com/watch?v=djUFti3gKEA&t=26s

인수분해 공식 정리

(1) \((x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)\)

(2) \((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\)

(3) \(x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\)

(4) \(xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=-1\cdot(x-y)(y-z)(z-x)\)

(5) \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)\)

(6) \(x(z-x)^2+y(z-y)^2+z(x-y)^2=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\)

(7) \(y^2z^2(y-z)+z^2x^2(z-x)+x^2y^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)\)

(8) \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)\)

(9) \(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\)

(10) \(x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)=(x-y)(y-z)(z-x)\)

1. 대칭식

\(x,\ y,\ z\)에 대한 다항식 \(f(x,\ y,\ z)\)에서 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 때, 다항식 \(f(x,\ y,\ z)\)를 \(x,\ y\)에 대한 대칭식이라 한다. 여기서 \(x,\ y,\ z\) 어느 두 변수를 바꾸어도 같은 식이 되면 대칭식이라고 한다. 또 대칭식 중 모든 항의 차수가 같으면 동차대칭식이라 한다.

두 변수의 경우

\[(t-x)(t-y)=t^2-(x+y)t+xy\]

세 변수의 경우

\[(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz\]

\(f(x,\ y)=f(y,\ x)\)를 만족하는 두 변수를 가진 대칭식에서 만약 \(x^2y\)의 항이 존재한다면 \(xy^2\)의 항도 존재해야 한다. 따라서 대칭식 \(f(x,\ y)\)는 \(x^2y+xy^2\)를 반드시 포함하여야 한다. 그리고 이 항들은 \(xy(x+y)\)와 같이 모두 기본 대칭식으로 표현이 가능하다.

2. 대칭식의 성질

(1) 기본 대칭식은 합, 차, 곱, 몫, 실수배를 하여도 그 결과가 대칭식이다.

(2) 모든 대칭식은 기본대칭식에 대한 다항식으로 표현이 가능하다.

<증명>

\(n\)개의 변수에 대한 기본대칭식은

\[e_k = \sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}\]

입니다. 예를 들어 3변수에서는

\[e_1=x+y+z,\quad e_2=xy+yz+zx,\quad e_3=xyz\]

임의의 대칭다항식 \(f(x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n)\)에 대해 어떤 다항식 \(F\)가 존재하여

\[f(x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n)=F(e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n)\]

가 됨을 보이면 됩니다. 즉, 대칭식은 결국 \(e_1,\ldots,e_n\)만으로 쓸 수 있다는 뜻입니다.

핵심은 이겁니다.

• 다항식 \(f\)의 "가장 큰 항" 하나를 잡는다.
• 그 항을 없애는 기본대칭식의 조합을 만든다.
• 빼면 더 작은 대칭식이 남는다.
• 이 과정을 반복하면 결국 전부 기본대칭식으로 표현된다.

이 방식은 선두항 제거법이라고 생각하면 됩니다. 증명을 하려면 "가장 큰 항"을 정할 기준이 필요합니다. 예를 들어 \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\)의 사전식 순서를 생각합니다.

그리고 단항식

\[x_1^{\alpha_1} \ge x_1^{\alpha_2} \ge \cdots \ge x_n^{\alpha_n}\]

끼리 크기를 비교합니다. 대칭식이므로, 각 항의 지수는 적당히 변수 순서를 바꾸면

\[\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \cdots \ge \alpha_n\]

인 꼴로 잡을 수 있습니다. 즉, \(f\)의 최고항을

\[x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\quad(\alpha_1\ge\alpha_2\ge\cdots\ge\alpha_n)\]

라고 둘 수 있습니다.

이제 다음 식을 봅시다.

\[e_1^{\alpha_1-\alpha_2}\cdot e_2^{\alpha_2-\alpha_3}\cdots e_n^{\alpha_n}\]

이 식의 최고항을 보면 정확히 \(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\)이 나옵니다. 왜냐하면:

• \(e_1\)의 최고항은 \(x_1\)
• \(e_2\)의 최고항은 \(x_1x_2\)
• \(e_3\)의 최고항은 \(x_1x_2x_3\)
• \(\cdots\)
• \(e_n\)의 최고항은 \(x_1x_2\cdots x_n\)

이기 때문입니다. 그래서 지수를 합쳐 보면

• \(x_1\)의 지수는 \((\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+\cdots+\alpha_n=\alpha_1\)
• \(x_2\)의 지수는 \((\alpha_2-\alpha_3)+\cdots+\alpha_n=\alpha_2\)
• \(\cdots\)
• \(x_n\)의 지수는 \(\alpha_n\)이 됩니다.

따라서 이 곱의 최고항은 정확히 원하는 항입니다. 그러면 적당한 상수 \(c\)를 곱해서

\[g=f-c\cdot e_1^{\alpha_1-\alpha_2}\cdot e_2^{\alpha_2-\alpha_3}\cdots e_n^{\alpha_n}\]

를 만들면, \(f\)의 최고항이 사라집니다.

\(g\)도 대칭식입니다. 그리고 \(g\)의 최고항은 \(f\)보다 더 작습니다. 즉, \(f\)보다 "간단한" 대칭식이 남았습니다.

이제 \(g\)에 대해 똑같이 합니다.

• \(g\)의 최고항을 잡고,
• 그것을 없애는 기본대칭식 조합을 만들고,
• 빼 줍니다.

다항식은 항의 개수가 유한하므로 이 과정을 계속하면 결국 \(0\)이 됩니다. 따라서 \(f\)는 기본대칭식들의 다항식으로 표현됩니다.

\[f=F(e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n)\]

이로써 증명 끝입니다. \(\blacksquare\)

<다른 풀이>

(1) 변수가 2개인 2차식이므로 \(x^2+y^2=a(x+y)^2+b(xy)\)로 표현이 가능하다. 여기서 \(x^2\)의 계수가 1이므로 \(a=1\). 위 식은 \(x,\,y\)에 대한 항등식이므로 \(x=1,\,y=1\)을 대입하면 \(2=4a+b\)에서 \(b=-2\).

\[\therefore\quad x^2+y^2=(x+y)^2-2(xy)\]

(2) 변수가 3개인 2차식이므로 \(x^2+y^2+z^2=a(x+y+z)^2+b(xy+yz+zx)\)로 표현이 가능하다. 양변 계수비교를 하면 \(a=1,\;b=-2\)이 된다.

\[\therefore\quad x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\]

(3) 변수가 3개인 4차식이므로 \(x^4+y^4+z^4=a(x+y+z)^4+b(x+y+z)^2(xy+yz+zx)+c(xy+yz+zx)^2+d(x+y+z)(xyz)\)로 표현이 가능하다. 양변 계수비교를 하면 \(a=1,\;b=-4,\;c=2,\;d=4\)이 된다.

(4) 변수가 3개인 3차식이므로 \(x^3+y^3+z^3=a(x+y+z)^3+b(x+y+z)(xy+yz+zx)+c\,xyz\)로 표현이 가능하다. 양변 계수비교를 하면 \(a=1,\;b=-3,\;c=3\)이 된다.

(5) 변수가 3개이고 4차식이므로 \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=a(xy+yz+zx)^2+b(x+y+z)(xyz)\)로 표현이 가능하다. 양변 계수비교를 하면 \(a=1,\;b=-2\)이 된다.

\[\therefore\quad x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2(x+y+z)(xyz)\]

4. 교대식

<증명>

3변수 교대식 \(f(x,\,y,\,z)\)에서 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 계산하면, 교대식의 정의에 의해 원래식과 그 부호가 반대가 된다. 즉

\[f(y,\,x,\,z)=-f(x,\,y,\,z)\]

이다. \(x\) 대신 \(y\)를 대입하면

\[f(y,\,y,\,z)=-f(y,\,y,\,z)\quad\Rightarrow\quad f(y,\,y,\,z)=0\]

을 얻을 수 있다. \(f\)는 \(x\)에 \(y\)를 대입하여 계산하면 0이므로 인수정리에 의해 \((x-y)\)를 인수로 가진다. 같은 방법으로 \(f(x,\,y,\,z)\)는 \((y-z)\), \((z-x)\)를 인수로 갖게 됨을 보일 수 있다.

다음으로 \(g(x,\,y,\,z)\)가 대칭식임을 보이자. 앞서 증명한 사실에 의해

\[f(x,\,y,\,z)=(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,\,y,\,z)\]

로 인수분해가 된다. 대칭식의 정의에 의해, \(x\)와 \(y\)를 바꾸면 \(f(y,\,x,\,z)=-f(x,\,y,\,z)\)이므로

\[(y-x)(x-z)(z-y)\cdot g(y,\,x,\,z)=-(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,\,y,\,z)\]

정리하면

\[-(x-y)\cdot(-(y-z))\cdot(-(z-x))\cdot g(y,\,x,\,z)=-(x-y)(y-z)(z-x)\cdot g(x,\,y,\,z)\] \[\therefore\quad g(y,\,x,\,z)=g(x,\,y,\,z)\]

마찬가지로 \(x,\,y\) 뿐만 아니라 나머지 변수들에 대해서도 대칭성을 보일 수 있다. 따라서 \(g(x,\,y,\,z)\)는 3변수 대칭식이다. \(\blacksquare\)

5. 대칭식과 교대식을 이용한 인수분해

예제 1. \((x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\)을 인수분해 하시오.

예제 2. \((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\)를 인수분해 하시오.

예제 3. \(x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz\)를 인수분해 하시오.

3. 다음을 인수분해 하여라.

(1) \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)\)

(2) \((x+y)(y+z)(z+x)+xyz\)

(3) \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3\)

(4) \(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)\)

(5) \(x^2y^2(x-y)+y^2z^2(y-z)+z^2x^2(z-x)\)

(6) \(x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)\)

(7) \(x^2(y^3-z^3)+y^2(z^3-x^3)+z^2(x^3-y^3)\)

(8) \(x^3y^3(x-y)+y^3z^3(y-z)+z^3x^3(z-x)\)

5. 대칭식과 뉴턴 항등식

뉴턴 항등식은 기본 대칭식 \((e_k)\)과 거듭제곱 합 \((S_k)\) 사이의 관계를 나타내는 점화식입니다.

\(n\)차 다항식의 근을 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\ldots,\,\alpha_n\)이라 할 때

• 기본 대칭식 \((e_k)\): 근과 계수의 관계에 의해 결정되는 식
  \[e_1=\textstyle\sum\alpha_i,\quad e_2=\sum_{i<j}\alpha_i\alpha_j,\quad\ldots,\quad e_n=\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\]
• 거듭제곱 합 \((S_k)\): 근들의 \(k\)제곱의 합
  \[S_k=\alpha_1^k+\alpha_2^k+\cdots+\alpha_n^k\]

참고

\[x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}+y^{n-1}) - xy(x^{n-2}+y^{n-2})\] \[ \begin{align} x^n + y^n + z^n &= (x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1}) \\ &\quad -(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2}) \\ &\quad +xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3}) \end{align} \]

참고

\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\] \[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz\]

인수분해 공식 정리

(1) \((x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)\)

(2) \((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\)

(3) \(x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz=(x+y)(y+z)(z+x)\)

(4) \(xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)=-1\cdot(x-y)(y-z)(z-x)\)

(5) \((x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)\)

(6) \(x(z-x)^2+y(z-y)^2+z(x-y)^2=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\)

(7) \(y^2z^2(y-z)+z^2x^2(z-x)+x^2y^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)\)

(8) \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)\)

(9) \(x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)\)

(10) \(x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)=(x-y)(y-z)(z-x)\)